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傅里叶变换的行使Ⅲ——无穷电阻网络

 题:有一平面正方形无穷电阻网络,相邻两节点间的幼段电阻均为r,求整个网络上肆意两节点间的电阻。

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解:为便于表明,能够记两端点为,并且以行为原点竖立坐标系.的坐标设为

采用电流分布法。倘若点流入电流点流出电流。记为

记节点的电势为,则待求电阻即为

流入节点的电流能够外示为

定义算符

则式(3)能够改写为

题目关键就是如何求解方程(5)。

这是一个非齐次方程,对答的齐次方程为:

即异国电流从外界流进无穷网络,无穷网络中也异国电流流出。

而无穷网络内部不存在电源,此时隐微也不该该有电流。所以,齐次方程的解为

再追求原方程的特解。原方程即

旗下产业 0);line-height: 26px;padding-top: 8px;padding-bottom: 8px;font-family: Optima-Regular, Optima, PingFangSC-light, PingFangTC-light, "PingFang SC", Cambria, Cochin, Georgia, Times, "Times New Roman", serif;font-size: 16px;white-space: normal;box-sizing: border-box;background-color: rgb(255, 255, 255);">在时的极限。引入之后会表明。

组织函数F(x,y),使它在上能睁开成二维傅里叶级数,且睁开系数恰为,即

代入式(5)得

仔细上式中对的乞降都是遮盖通盘整数的,所以答当有

上式的变形中行使了欧拉公式。知照照顾要仔细到乞降是对进走的,所以将含的项从乞降号中挑出来是十足相符理的。

将(9)式代入(11)式即得到一个关于的方程。容易解出

在式(8)时吾们引入了,从而避免了发散的题目。

对于,由傅里叶反变换有

原由计算效果答当为实数,式中直接取了实部。

所以方程(5)的特解即

将极限移至积分号内易得

原方程的解是通解与特解之和,故

将(14)(15)二式效果代入式(2),即可得

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